He had then written down what he said was the latest weather forecast.

Эту же мысль можно было бы выразить по-другому следующим образом: 'He had then written something down. He said that it was the latest weather forecast'. Это — нейтральное сообщение о том, что сказал данный человек.

Или же вы могли бы сказать 'He had then written down the latest weather forecast.' В этом случае вы со всей очевидностью соглашаетесь, что это и есть в действительности последний прогноз погоды.

Используя оборот, начинающийся с 'what', вы очень тонко вносите свой собственный комментарий, при этом вам не надо использовать отдельное предложение для передачи структуры косвенной речи (обратите внимание на следующее: 'what he said was the latest weather forecast' — это дополнение к глаголу 'written down'). Ваш комментарий означает приблизительно следующее: 'This is what he said, but I do not know whether he was right or not'.

2.47 Подобный комментарий часто содержит сигнал косвенной речи 'say'.

I was looking at the scallops, or what they claim are scallops.
They are demanding more than $100,000 compensation for what they allege was the 'catastrophic' effect the contamination has had on their lives.

Когда вы используете 'claim' таким образом, после него часто ставится инфинитив с частицей 'to'.

The Times and the Daily Mail published what they claimed to be the inside story.
It is true that religious and political leaders have emerged from time to time with what they claimed to be a new model.

Можно использовать глагол 'say' в пассивной форме + инфинитив с частицей 'to'.

I got myself a table at what was said to be the best restaurant in town.